Question

在某电视台举办的《上海世博会知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

，且三人答对这道题的概率互不影响．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率；
（Ⅱ）求答对该题的人数ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所给的条件甲回答对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

，三人答对这道题的概率互不影响，利用相互独立事件同时发生的概率写出关于三个事件管理的关系式，解出概率的值．
（Ⅱ）答对该题的人数ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，结合变量对应的事件，再根据相互独立事件的概率公式得到结果，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵甲回答对这道题的概率是

3

4

，甲、丙两人都回答错的概率是

1

12

，
乙、丙两人都回答对的概率是

1

4

，三人答对这道题的概率互不影响．
记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、
“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，
则P(A)=

3

4

，
且有

P( A )•P( C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

即

[1-P(A)]•[1-P(C)]= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

∴P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

（Ⅱ）答对该题的人数ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，
根据相互独立事件的概率公式得到
P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

5

96

P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•C)=

7

24

P(ξ=2)=P(A•B•

.

C

+A•

.

B

•C+

.

A

•B•C)=

15

32

P(ξ=3)=P(A•B•C)=

3

16

∴ξ的分布列是

∴Eξ=1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．