Question

2．若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则ab的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 由圆的性质可知，圆心（2，1）在直线ax+2by-2=0上，从而a+b=1，由此能求出ab的取值范围．

解答 解：∵直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，
∴由圆的性质可知，直线ax+2by-2=0即是圆的直径所在的直线方程
∵圆x²+y²-4x-2y-8=0的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=13，
∴圆心（2，1）在直线ax+2by-2=0上
∴2a+2b-2=0即a+b=1，
∵a＞0，b＞0，∴$ab≤（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$．
∴ab的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]．
故答案为：$（0，\frac{1}{4}]$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和基本不等式性质的合理运用．