Question

10．设四棱锥P-ABCD的底面是边长为$2\sqrt{2}$的正方形，侧棱长均为$2\sqrt{5}$，若该棱锥的五个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

• A． 25π
• B． 32π
• C． 36π
• D． 50π

Answer 1

分析 设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P-ABCD的高且四棱锥P-ABCD的外接球球心O在PF上．由正四棱锥的性质，结合题中数据算出AF=2且PF=4，Rt△AOF中根据勾股定理，得R²=2²+（4-R）²，解之得R=2.5，利用球的表面积公式即可算出经过该棱锥五个顶点的球面面积．

解答 解：设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P-ABCD的高，
根据球的对称性可得四棱锥P-ABCD的外接球球心O在直线PF上，
∵正方形ABCD边长为2$\sqrt{2}$，∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2
Rt△PAF中，PF=4
连接OA，设OA=0P=R，则
Rt△AOF中AO²=AF²+OF²，即R²=2²+（4-R）²
解之得R=2.5
∴四棱锥P-ABCD的外接球表面积为S=4πR²=4π×2.5²=25π
故选：A．

点评 本题给出正四棱锥，求它的外接球的表面积，着重考查了正四棱锥的性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于基础题．