Question

11．函数y=$\frac{\sqrt{x+2}}{x+3}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由x+2≥0，x+3≠0，解得x≥-2，可得函数的定义域．令$\sqrt{x+2}$=t≥0，则x=t²-2．可得y=f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$，对t分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由x+2≥0，x+3≠0，解得x≥-2，∴函数的定义域为{x|x≥-2}．
令$\sqrt{x+2}$=t≥0，则x=t²-2．
∴y=f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$，当t=0时，f（0）=0．
当t＞0时，f（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\frac{1}{2}$．
综上可得函数y=$\frac{\sqrt{x+2}}{x+3}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$[0，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了函数的值域、基本不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．