Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，试求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．
（2）若对一切实数x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的定义与夹角公式，即可求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值；
（2）【解法一】设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，利用模长公式得出关于x的不等式（x²-1）+（2x-2）$\sqrt{2}$cosθ≥0，
讨论x=1、x＞1和x＜1时，求出cosθ的值，从而求出θ的值；
【解法二】设a与b的夹角为θ，由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$得出不等式x²+2$\sqrt{2}$xcosθ-2$\sqrt{2}$cosθ-1≥0对一切实数x恒成立，
利用判别式△≤0求出cosθ的值，从而得出θ的值．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4，
即$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=4，
2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=4，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$．
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×1}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$  …（4分）
（2）【解法一】令$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．
由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，得（$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$）²≥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²，…（5分）
化为（x²-1）|$\overrightarrow{b}$|²+（2x-2）|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ≥0，
因为|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
所以（x²-1）+（2x-2）$\sqrt{2}$cosθ≥0，…（6分）
当x=1时，式子显然成立；    …（7分）
当x＞1时，cosθ≥-$\frac{{x}^{2}-1}{（2x-2）\sqrt{2}}$=-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$，
由于-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故cosθ≥-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当x＜1时，cosθ≤-$\frac{{x}^{2}-1}{（2x-2）\sqrt{2}}$=-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$，
由于-$\frac{x+1}{2\sqrt{2}}$＞-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故cosθ≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
所以cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得θ=$\frac{3π}{4}$．…（12分）
【解法二】令$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
得（$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$）²≥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²，…（5分）
因为|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
所以x²+2$\sqrt{2}$xcosθ-2$\sqrt{2}$cosθ-1≥0，
对一切实数x恒成立，…（7分）
所以△=8cos²θ+8$\sqrt{2}$cosθ+4≤0，…（9分）
即（$\sqrt{2}$cosθ+1）²≤0，故cosθ=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（11分）
因为θ∈[0，π]，所以θ=$\frac{3}{4}$π．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的由于问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合性题目．