Question

在（1+x）ⁿ的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等．
（1）求（x²-

1

x

）ⁿ展开式中的系数最大的项和系数最小的项；
（2）求（x²+x-2）ⁿ展开式中含x²项的系数．

Answer 1

分析：（1）依题意，由

C

2 n

=

C

4 n

，可求得n，利用(x2-

1

x

)6的通项T_r+1=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r即可求得其展开式中的系数最大的项和系数最小的项；
（2）利用（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）…（x²+x-2）（6个括号相乘），利用组合数的性质即可求得答案．

解答：解：由已知得

C

2 n

=

C

4 n

，即

n(n-1)

2

=

n(n-1)(n-2)(n-3)

4×3×2×1

，解得n=6 …（3分）
（1）∵(x2-

1

x

)6的通项T_r+1=

C

r 6

（x²）^6-r(-

1

x

)r=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r，
∴当r=3时，展开式中的系数最小，即T₄=-20x³为展开式中的系数最小的项；
当r=2或r=4时，展开式中的系数最大，即T₃=15x⁶，T₅=15为展开式中的系数最大的项 …（9分）
（2）∵（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）•…•（x²+x-2）（6个括号相乘），
要出现x²项，有两类：
一类是6个括号中有一个括号提供x²项，另5个括号均提供-2，共有

C

1 6

×（-2）⁵=-192个；
另一类是6个括号中有二个括号提供x项，另4个括号均提供-2，共有

C

2 6

×1²×（-2）⁴=240个；
∴（x²+x-2）⁶展开式中含x²项的系数为

C

1 6

×（-2）⁵+

C

2 6

×1²×（-2）⁴=-192+240=48．…（15分）

点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式与组合数的性质，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．