Question

在△ABC中，若c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，则∠C等于（ ）
A．90°
B．120°
C．60°
D．120°或60°

Answer 1

【答案】分析：把已知c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0等式通过完全平方式、拆分项转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0．分两种情况，根据余弦定理即可求得∠C的度数．
解答：解：∵c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，
⇒c⁴-2（a²+b²）c²+（a²+b²）²-a²b²=0，
⇒[c²-（a²+b²）]²-（ab）²=0，
⇒（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，
∴c²-a²-b²-ab=0或c²-a²-b²+ab=0，
当c²-a²-b²+ab=0时，cosC=，∴∠C=60°，
当c²-a²-b²-ab=0时，cosC=，∴∠C=120°，
综上可得：∠C=60°或120°．
故选D
点评：本题考查了余弦定理，以及因式分解的应用，解决本题的关键是将原式转化为（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，再利用余弦定理求得∠C的度数．