Question

19．若曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=ae^x（a＞0）至少存在两个交点，则a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{8}{{e}^{2}}$，+∞）
• B． （0，$\frac{8}{{e}^{2}}$]
• C． [$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）
• D． （0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 x＜0时，两条曲线由一个交点，当x＞0时，如果恒有ae^x＞x²，两条曲线没有公共点，通过分离参数，求最值，即可求a的取值范围．然后求解补集即可．

解答 解：曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=ae^x（a＞0），x＜0时，两条曲线由一个交点，
当x＞0时，如果恒有ae^x＞x²，两条曲线没有公共点，
由ae^x＞x²⇒a＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$=x2e-x，∴3a＞x²e^-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x²e^-x+2a，知f（x）的定义域为R，f′（x）=e^-x（2x-x²），令f′（x）=0⇒x=0或2，
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小值	增	极大值	减

由上表可知f（x）_极小值=f（0）=2a；
可知：当x∈（0，+∞）时，x=2时，f（x）_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a，
所以3a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a⇒a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$．
曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=ae^x（a＞0）至少存在两个交点，则a的取值范围为：（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，正确运用分离参数求最值是关键．