Question

20．过抛物线x²=4y上一点M（x₀，y₀）（x₀＞0）作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N（x₁，y₁），则x₀-x₁的最小值为2．

Answer 1

分析 求得函数y=$\frac{1}{4}$x²的导数，可得切线的斜率和切线的方程，求出抛物线的准线方程，进而得到N的坐标，再由基本不等式即可得到所求的最小值．

解答 解：由y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
过M的切线的斜率为k=$\frac{1}{2}$x₀，切点为（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），（x₀＞0），
即有切线的方程为y-$\frac{1}{4}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
由抛物线的准线为y=-1，
令y₁=-1，可得x₁=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}-2}{{x}_{0}}$，
则x₀-x₁=$\frac{1}{2}$（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{4}{{x}_{0}}}$=2．
当且仅当x₀=2时，取得最小值2．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的切线方程的求法，注意运用导数的几何意义，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．