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【题目】已知函数.

1)若存在极值,求实数a的取值范围;

2)设,设是定义在上的函数.

)证明:上为单调递增函数(的导函数);

)讨论的零点个数.

【答案】1.(2)()证明见解析;()答案见解析

【解析】

1)求导得,按照分类,求得的解集即可得解;

2)()令,对求导,按照分类,证明恒大于0,即可得证;

)由的单调性结合,按照分类,结合即可得解.

1)求导得

时,R上单调递减,无极值;

时,单调递减,在上单调递增,

处有极小值.

综上,实数a的取值范围为

2)()证明:由题意

∵令

时,

时,令,则

所以上单调递减,在上单调递增,

所以,所以

从而有:,而

,则

综上,对都有成立,

在区间单调递增;

)由()知,在区间单调递增且

①当时,

时,单调递减;

时,单调递增,

的唯一极小值点,且

从而可知:当时,在区间有唯一零点0

②当时,有

故存在使

此时单调递减,在单调递增,

,由零点存在定理知:

在区间有唯一零点,记作

从而可知:当时,在区间上有两个零点:0

综上:①当时,在区间有唯一零点0

②当时,在区间有两个不同零点.

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