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如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x,y)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x=1-时,切线MA的斜率为-
(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【答案】分析:(I)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.
(II)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
解答:解:(I)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点的坐标为(-1,),故切线MA的方程为y=-(x+1)+
因为点M(1-,y)在切线MA及抛物线C2上,于是
y=-(2-)+=-     ①
y=-=-          ②
由①②解得p=2
(II)设N(x,y),A(x1),B(x2),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=  ③,y==    ④
切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+,⑤;y=(x-x2)+⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x,y)的坐标满足x=,y=
因为点M(x,y)在C2上,即x2=-4y,所以x1x2=-
由③④⑦得x2=y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
3
:1
,试求所有满足条件的点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1,已知点P(1,
3
),过点P作互相垂直且分别与圆M圆N相交的直线l1,l2,设l1被圆M截得的弦长为s,l2被圆N截得的弦长为t,
s
t
是否为定值?请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图过抛物线C1x2=4y的对称轴上一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点Q是P关于原点的对称点,以P,Q为焦点的椭圆为C2
(1)求证:x1x2为定值;
(2)若l的方程为x-2y+4=0,且C1,C2以及直线l有公共点,求C2的方程;
(3)设
AP
PB
,若
QP
⊥(
QA
QB
)
,求证:λ=μ

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科目:高中数学 来源:2013年辽宁省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x,y)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x=1-时,切线MA的斜率为-
(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

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科目:高中数学 来源:2011年广东省广州市高考数学查漏补缺试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.已知点,过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2,设l1被圆M截得的弦长为s,l2被圆N截得的弦长为t.是否为定值?请说明理由.

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