Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
①求证：点M在定直线上；
②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1 ， △PDM的面积为S2 ， 求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得e= = ，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0， ），

即有b= ，a2﹣c2= ，

解得a=1，c= ，

可得椭圆的方程为x2+4y2=1；

（2）

解：①证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y= x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，

则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），

可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2= ，即有中点D（ ，﹣ ），

直线OD的方程为y=﹣ x，可令x=x0，可得y=﹣ ．

即有点M在定直线y=﹣ 上；

②直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

则S1= |FG||x0|= x0（ +y0）= x0（1+x02）；

S2= |PM||x0﹣ |= （y0+ ） = x0 ，

则 = ，

令1+2x02=t（t≥1），则 = = = =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ，

则当t=2，即x0= 时， 取得最大值 ，

此时点P的坐标为（ ， ）．

【解析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（2）（i）设P（x0 ， y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0 ， 可得y=﹣ ．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1= |FG||x0|= x0（ +y0），S2= |PM||x0﹣ |，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．