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2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且向量$\overrightarrow a=(n,S_n),\overrightarrow b=(4,n+3)$共线;等比数列{bn}中b1=a1,b2=a3
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若数列{cn}的通项公式为cn=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$,求数列{cn}的前n项和Tn

分析 (1)利用向量共线定理、递推关系、等差数列的定义即可证明;
(2)利用“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 (1)证明:$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线,得${S_n}=\frac{n(n+3)}{4}$,
∴当$n=1时,{a_1}=1;当n≥2时,{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+1}{2}$,
∴${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}$,所以数列{an}是等差数列;
(2)由(1)可得an=1+$\frac{1}{2}(n-1)$=$\frac{n+1}{2}$.
设等比数列{bn}的公比为q,∵b1=a1,b2=a3,∴$\frac{3+1}{2}$=$\frac{1+1}{2}$•q,解得q=2.
∴bn=2n-1
∴cn=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$=$\frac{2}{n(n+1)}$+n•2n-1
设数列$\{\frac{2}{n(n+1)}\}$的前n项和为An
则An=2$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=2$(1-\frac{1}{n+1})$=$\frac{2n}{n+1}$.
设数列{n•2n-1}的前n项和为Bn
则Bn=1+2×2+3×22+…+n•2n-1
∴2Bn=2+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n
相减可得:-Bn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2n=(1-n)•2n-1,
∴Bn=(n-1)•2n+1.
∴${T_n}=\frac{2n}{n+1}+(n-1){2^n}+1$

点评 本题考查了向量共线定理、递推关系、等差数列的定义、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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