分析 (1)利用向量共线定理、递推关系、等差数列的定义即可证明;
(2)利用“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (1)证明:$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线,得${S_n}=\frac{n(n+3)}{4}$,
∴当$n=1时,{a_1}=1;当n≥2时,{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+1}{2}$,
∴${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}$,所以数列{an}是等差数列;
(2)由(1)可得an=1+$\frac{1}{2}(n-1)$=$\frac{n+1}{2}$.
设等比数列{bn}的公比为q,∵b1=a1,b2=a3,∴$\frac{3+1}{2}$=$\frac{1+1}{2}$•q,解得q=2.
∴bn=2n-1.
∴cn=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$=$\frac{2}{n(n+1)}$+n•2n-1.
设数列$\{\frac{2}{n(n+1)}\}$的前n项和为An,
则An=2$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=2$(1-\frac{1}{n+1})$=$\frac{2n}{n+1}$.
设数列{n•2n-1}的前n项和为Bn,
则Bn=1+2×2+3×22+…+n•2n-1,
∴2Bn=2+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,
相减可得:-Bn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2n=(1-n)•2n-1,
∴Bn=(n-1)•2n+1.
∴${T_n}=\frac{2n}{n+1}+(n-1){2^n}+1$
点评 本题考查了向量共线定理、递推关系、等差数列的定义、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 64 | B. | 32 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1+i | B. | 1-i | C. | -1+i | D. | -1-i |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,2) | B. | (2,4) | C. | $(\frac{1}{2},1)$ | D. | $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $[\frac{3}{2},1+\sqrt{3}]$ | B. | $[2,1+\sqrt{3}]$ | C. | [1,3] | D. | [2,3] |
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