Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f（x）
（Ⅰ）求证：tan（α+β）=2tanα；　　　（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）已知数列a_n满足an=

1

f(n)

，问数列是否存在最小项，若有求出此项，若无说明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用两角和差的正弦公式把sin（α+β+α）=3sin（α+β-α） 展开、移项化简可得sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
再利用同角三角函数的基本关系可证得tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 把 tan（α+β）=2tanα 利用两角和的正切公式 展开可得

x+y

1-xy

=2x，即 y=

x

1+2x2

．
（Ⅲ）由条件可得a_n=

1

n

+2n≥2

2

，当且仅当n=

2

2

 时取等号，由于n∈N₊，故数列不存在最小项．

解答：解：（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin（α+β+α）=3sin（α+β-α），
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，∴sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 设tanα=x，tanβ=y，由（Ⅰ）可得

x+y

1-xy

=2x，∴y=

x

1+2x2

，即 f（x）=

x

1+2x2

．
（Ⅲ）∵数列a_n满足 an=

1

f(n)

，∴a_n=

1+2n2

n

=

1

n

+2n≥2

2

，当且仅当

1

n

=2n，即 n=

2

2

 时取等号．
由于n∈N₊，故数列不存在最小项．

点评：本题考查两角和差的正弦、正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，求出f（x）的解析式，是解题的难点．