Question

（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

3

）+

3

，由此求得f（

π

6

）的值．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式求得它的最小正周期，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，…（4分）
∴f（

π

6

）=2sin

2π

3

+

3

=2×

3

2

+

2

=2

3

…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，∴它的最小正周期T=

2π

2

=π．…（8分）
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．…（13分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性及单调性，属于中档题．