Question

如图，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成角．

　　

(Ⅰ)求证：EG⊥平面ABCD；

(Ⅱ)若AD=2，求二面角E－FC－G的度数；

(Ⅲ)当AD的长是多少时，D点到平面EFC的距离为2？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(Ⅰ)∵△ADE是正三角形，∴EG⊥AD． 　　又平面ADE⊥平面ABCD且相交于AD，∴EG⊥平面ABCD． 　　解：(Ⅱ)连接CG，则CG是EC在平面ABCD内的射影． 　　∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，即∠ECG=． 　　在Rt△EGC中：∵AD=2，∴EG=，∴GC=3． 　　在Rt△GDC中：DG=1，GC=3，∴DC=． 　　则 　　∴，即GF⊥FC． 　　∵GF是EF在平面AC内的射影，∴EF⊥FC， 　　∴∠EFG是二面角E－FC－G的平面角． 　　在Rt△EGF中，EG=GF=，∴∠EFG=． 　　故所求二面角E－FC－D的度数为． 　　(Ⅲ)连DF，D到平面EFC的距离即为三棱锥D－EFC的高． 　　∵ 　　设AD=a，则CD=a，EF=FC=a． 　　 　　故AD的长为时，D点到平面EFC的距离为2．