Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，M，E，F分别是PA，PC，PD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）证明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直线ME与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明EF∥平面PAB，只需证明AB∥EF，利用三角形中位线的性质及AB∥CD可得；
（2）先证明EF⊥平面PAD，可得EF⊥PD，再证明PD⊥AF，即可证明PD⊥平面ABEF；
（3）求出M到平面ABEF的距离，ME的长，即可求直线ME与平面ABEF所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥PD，
∵PA=AD=2，F是PD的中点，
∴PD⊥AF，
∵EF∩AF=F，
∴PD⊥平面ABEF；
（3）解：由（2）知，P到平面ABEF的距离为

2

，∴M到平面ABEF的距离为

2

2

，
又MF=1，EF=2，∴ME=

5

，
∴直线ME与平面ABEF所成角的正弦值为

2 2

5

=

10

10

．

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用线面平行，线面垂直的判定定理是关键．