Question

荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的PM2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀[0，50）”、第二组“良好[50，100）”、第三组“轻度污染[100，150）”、第四组“中度污染[150，200）”和第五组“重度污染[200，250]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为2：8：9：5：1，第一组数据的频数是4．
（Ⅰ） 求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率；
（Ⅱ）从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据第一组至第五组数据的频率之比为2：8：9：5：1，第一组数据的频数是4，确定样本容量，从而可求空气质量为优秀或良好等级的概率；
（II）分别求出抽取的两份数据、两份数据都是优秀等级的情况总数，利用古典概型的概率公式，即可得出结论．

解答：解：（I）设样本容量为n，则

4

n

=

2

2+8+9+5+1

，解得n=50，…（2分）
空气质量为优秀或良好等级的概率为

2+8

2+8+9+5+1

=0.4．…（5分）
（II）测试结果为优秀等级[0，50）的有50×

2

2+8+9+5+1

=4天，设为a、b、c、d…（6分）
测试结果为重度污染等级[200，250]的有50×

1

2+8+9+5+1

=2天，设为x、y…（7分）
设抽取的两份数据为m、n，则（m，n）共有如下15种情况：（a，b）、（a，c）、（a，d）、（b，c）、（b，d）、（c，d）、（x，y）、（a，x）、（a，y）、（b，x）、（b，y）、（c，x）、（c，y）、（d，x）、（d，y），…（9分）
两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：（a，b）、（a，c）、（a，d）、（b，c）、（b，d）、（c，d）…（10分）
设“两份数据都是优秀等级”为事件A，则P(A)=

6

15

=

2

5

．
答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为

2

5

…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查枚举法确定基本事件，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．