Question

若向量

a

=（x，2x），

b

=（-3x，2），且

a

、   

b

的夹角为钝角，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面向量数量积表示两个向量的夹角，

a

=（x，2x），

b

=（-3x，2），且

a

、   

b

的夹角为钝角，结合数量积表示两个向量的夹角，我们可以得到一个关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，但要注意，

a

与

b

反向的排除．

解答：解：∵

a

，

b

的夹角θ为钝角
又∵向量

a

=（x，2x），

b

=（-3x，2），
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

-3x2+4x

5 |x|• 3x2+4

＜0
即-3x²+4x＜0
解x＜0，或x＞

4

3

又∵当x=-

1

3

时，

a

与

b

反向，不满足条件
故满足条件的x的取值范围是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）∪（

4

3

，+∝）
故答案为：（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）∪（

4

3

，+∝）

点评：本题是一个易错题，容易只由

a

，

b

的夹角为钝角得到

a

•

b

＜0，而忽视了

a

•

b

＜0不是

a

，

b

夹角为钝角的充要条件，因为

a

，

b

的夹角为180°时也有

a

•

b

＜0，从而扩大x的范围，导致错误．