Question

已知双曲线C的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），离心率e=

5

2

，顶点到渐近线的距离为

2 5

5

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

AP

=λ

PB

，λ∈[

1

3

，2]，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=

a2+b2

综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（-n，2n），根据

AP

=λ

PB

得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（O，a）到渐近线ax-by=0的距离为

2 5

5

，
∴

ab

a2+b2

=

2 5

5

，即

ab

c

=

2 5

5

，
由

ab c = 2 5 5 c a = 5 2 c2=a2+b2

，得

a=2 b=1 c= 5

∴双曲线C的方程为

y2

4

-x2=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由

AP

=λ

PB

得P点的坐标为(

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

)，
将P点坐标代入

y2

4

-x2=1，化简得mn=

(1+λ)2

4λ

．
设∠AOB=2θ，∵tan(

π

2

-θ)=2，∴tanθ=

1

2

，sinθ=

5

5

，sin2θ=

4

5

．
又|OA|=

5

m

，|OB|=

5

n+
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ=2mn=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．
记S(λ)=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，λ∈[

1

3

，2]，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，S(

1

3

)=

8

3

，S(2)=

9

4

，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ=

1

3

时，
△AOB的面积取得最大值

8

3．

∴△AOB面积的取值范围是[2，

8

3

]．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．