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已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.
(1)求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程;
(2)证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方;
(3)若函数y=f(x)有零点,求实数a的取值范围.
分析:(1)已知f(x)=lnx-ax+1,对你进行求导,根据导数和斜率的关系,求出切线的方程;
(2)作F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,利用导数证得任意x>0且x≠1,F(x)<0,从而有f(x)<(1-a)x,即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.
(3)令y=0,进行变形lnx=ax-1,即a=
lnx+1
x
,令 g(x)=
lnx+1
x
,利用导数的方法,研究其单调性及最大值,从而求出实数a的取值范围.
解答:解:(1)f′(x)=
1
x
-a
…(2分)f(1)=-a+1,kl=f'(1)=1-a,
所以切线l的方程为y-f(1)=kl(x-1),即y=(1-a)x.…(4分)
(2)令F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,
F′(x)=
1
x
-1 =
1
x
(1-x) ,解F′(x)=0得x=1

x (0,1) 1 (1,+∞)
F'(x) + 0 -
F(x) 最大值
F(1)<0,所以?x>0且x≠1,F(x)<0,f(x)<(1-a)x,
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.      …(9分)
(3)y=f(x)有零点,即f(x)=lnx-ax+1=0有解,a=
lnx+1
x

令 g(x)=
lnx+1
x
g′(x)=(
lnx+1
x
)′=
1-(lnx+1)
x2
=-
lnx
x2

解g'(x)=0得x=1.…(11分)
则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
当x=1时,g(x)的最大值为g(1)=1,
所以a≤1.…(13分)
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,还考查了数形结合的思想,是一道中档题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-2与曲线y=f(x)在(-∞,0)上有公共点,求k的取值范围.

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已知函数f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y-1=0垂直,若数列{
1
f(n)
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已知函数f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.

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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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