Question

已知定义域为R的函数．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）是奇函数．
证明：∵=
∴f（x）是R上的奇函数．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-，
∴f（x）是R上的减函数．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）（9分）
又f（x）是R上的减函数
∴t²-2t＜k-2t²
即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t²-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t²-2t，
则g（t）在[1，2]上是增函数，
∴g（t）_max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．
分析：（1）利用f（-x）=-f（x）即可作出判断；
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，当x＞0且x→+∞，f（x）越来越→-，可判断为减函数；
（3）根据题意可将对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立转化为“对任意t∈[1，2]k＞3t²-2t恒成立”．再构造函数g（t）=3t²-2t，利用g（t）在[1，2]上是增函数即可求得k的范围．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性与单调性的应用，突出考查闭区间上的函数恒成立问题，属于中档题．