Question

5．设函数f（x）=x²-2x+3（x∈[t，t+1]）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的对称轴x=1，从而可讨论区间[t，t+1]和对称轴的关系：分t+1≤1，t＜1＜t+1，和t≥1三种情况，然后根据二次函数在[t，t+1]上的单调性及取得顶点情况便可求出每种情况的f（x）的最小值，从而得出g（t）的表达式．

解答 解：f（x）的对称轴为x=1；
①t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减；
∴f（t+1）=t²+2是f（x）的最小值；
②t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（1）=2是f（x）的最小值；
③t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增；
∴f（t）=t²-2t+3是f（x）的最小值；
∴综上得，$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2}&{t≤0}\\{2}&{0＜t＜1}\\{{t}^{2}-2t+3}&{t≥1}\end{array}\right.$．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性的定义求函数在闭区间上的最小值，以及根据抛物线顶点求二次函数最小值的方法．