Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤f(

π

6

)对一切x∈R恒成立，则
①f(

11π

12

)=0；
②f(

7π

10

)＜f(

π

5

)；
③f（x）是奇函数；
④f（x）的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）；
⑤f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线都相交．
以上结论正确的是

①②④

（写出正确结论的编号）

Answer 1

分析：先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到f（

π

6

）是三角函数的最大值，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），f(x)≤f(

π

6

)对一切x∈R恒成立
∴sin（2×

π

6

+θ）=1，即2×

π

6

+θ=

π

2

+2kπ
∴θ=2kπ+

π

6

∴f（x）=

a2+b2

sin（2x+2kπ+

π

6

）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
对于①，f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

π

6

）=0，故①正确；
对于②，f（

7π

10

）=

a2+b2

sin（2×

7π

10

+

π

6

）＜0，f（

7π

5

）=

a2+b2

sin（2×

7π

5

+

π

6

）＞0，故②正确；
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③不正确；
对于④，

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z），故④正确；
对于⑤，直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|a|+|b|＞

a2+b2

，而此不等式可能成立，故f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线有直线与它不相交．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了三角函数的性质，研究性质常用整体处理的思想方法，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．