Question

10．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{4}$），且f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内有最大值，无最小值，则ω=$\frac{4}{5}$，或$\frac{52}{5}$，或20．

Answer 1

分析 由题意可得函数的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{5π}{24}$对称，求得ω=$\frac{24k+4}{5}$，k∈Z．再根据ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，求得ω 的范围．综合求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{4}$），
可得函数的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}{2}$=$\frac{5π}{24}$对称，
再根据f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）内有最大值，无最小值，$\frac{5π}{24}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
可得ω•$\frac{5π}{24}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{48k+4}{5}$，k∈Z①．
还可得ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$≥2kπ-$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得 12k-5≤ω≤8k+$\frac{14}{3}$，k∈Z②．
综上①②可得，ω=$\frac{4}{5}$，或ω=$\frac{52}{5}$，或ω=20，
故答案为：$\frac{4}{5}$，或$\frac{52}{5}$，或 20．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．