Question

17．求函数f（x）=x²-2ax-2，x∈[-3，4]，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，x∈[-3，4]，由二次函数区间的最值可得；
（Ⅱ）配方可得f（x）=x²-2ax-2=（x-a）²-2-a²，x∈[-3，4]，分类讨论可得解析式，可得值域．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，x∈[-3，4]，
∴当x=1时，函数有最小值，即为-3，
当x=-3时，函数有最大值，即为y=13，
∴函数f（x）的值域[-3，13]
（Ⅱ）f（x）=x²-2ax-2=（x-a）²-2-a²，x∈[-3，4]，
当a∈（-∞，-3）时，f（x）的最小值为7-6a；
当a∈[-3，4]时，f（x）的最小值为-a²-2；
当a∈（4，+∞）时，f（x）的最小值为14-8a．

点评 本题考查二次函数区间的最值，涉及分类讨论的思想和分段函数的值域，属中档题．