Question

（2009•湖北模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为棱A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C₁到面PAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用

CP

•

AB

=0可求A₁P：PB=1．
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，求得P点的坐标是(

2a

5

，0，

3a

5

)．分别求出平面PAC、ABC的一个法向量．再用公式可求
（Ⅲ）设C₁到面PAC的距离为d，利用d=

| n • C1C |

| n |

=

a

2

，可求．

解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、C(

a

2

，

3 a

2

，0)．

（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0得(x-

a

2

，-

3 a

2

，z)•(a，0，0)=0，
即(x-

a

2

)•a=0，∴x=

1

2

a，即P为A₁B的中点，
也即A₁P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，P点的坐标是(

2a

5

，0，

3a

5

)．取

m

=(3，-

3

，-2)．
则

m

•

AP

=(3，-

3

，-2)•(

2a

5

，0，

3a

5

)=0，

m

•

AC

=(3，-

3

，-2)•(

a

2

，

3 a

2

，0)=0．
∴

m

是平面PAC的一个法向量．
又平面ABC的一个法向量为

n

=(0，0，1)．
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…8′
（Ⅲ）设C₁到面PAC的距离为d，则d=

| n • C1C |

| n |

=

a

2

，∴C₁到面PAC的距离为

1

2

a．…12′

点评：本题以正三棱柱为载体，考查空间向量的运用，考查线线位置关系，考查二面角，考查点到面距离．