Question

数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N^*）
（1）是否存在常数λ、u，使得数列{a_n+λn²+um}是等比数列，若存在，求出λ、u的值，若不存在，说明理由．
（2）设b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，证明：当n≥2时，＜Sn＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）设a_n+1=2a_n-n²+3n，a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，由题设导出a_n+1=2a_n-n²+3n．存在λ=-1，μ=1使得数列{an+λn²+μn}是等比数列．
（2）an=2^n-1+n²-n，，当n≥3时，由得S=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞，由此能够导出当n≥2时，＜Sn＜．
解答：（1）解：设a_n+1=2a_n-n²+3n，
可化为a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ（2分）
故  解得（4分）
∴a_n+1=2a_n-n²+3n
可化为（5分）
又a₁+1²+1≠0（6分）
故存在λ=-1，μ=1  使得数列{an+λn²+μn}是等比数列（7分）

（2）证明：由（1）得an-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴an=2^n-1+n²-n，
故（8分）
∵（9分）
∴n≥2时，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1

=（11分）
现证（n≥2）．
当n=2时  S_n=b₁+b₂=
而，，
故n=2时不等式成立（12分）
当n≥3时，由得
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞
=1-，且由2n+1＞6   得1＞，
∴（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．