Question

在圆锥曲线的学习中，我们已经学习了它的标准方程，以椭圆＝1(a＞b＞0)为例说明此方程就是以F₁(－c，0)，F₂(c，0)为焦点，长轴长为2a的椭圆的方程．怎样利用曲线与方程的定义说明上述问题？

Answer 1

答案：
解析：

探究：由教材标准方程的推导过程可知，此椭圆上任一点的坐标均适合方程，以方程的解为坐标的点也应适合方程，可推证如下： 　　设P(x0，y0)为方程＝1的任一解， 　　则＝1，∴y02＝(1－)×b2． 　　∵a2＝b2＋c2，∴y02＝(a2－x02)． 　　∴|PF1|＋|PF2|＝ 　　＝ 　　＝． 　　由于－a≤x0≤a，而a＞c． 　　∴|PF1|＋|PF2|＝a＋x0＋a－x0＝2a． 　　∵2a＞2c， 　　根据椭圆定义，知P在以F1、F2为焦点的椭圆上． 　　由此可知＝1(a＞b＞0)是所求椭圆的方程．