Question

1．已知数列{a_n}满足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，则该数列的前2017项的乘积a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 利用递推公式求出数列的前5项，得到数列{a_n}是以4为周期的周期数列，由此能求出该数列的前2017项的乘积a₁a₂a₃…a₂₀₁₇．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，
∴${a}_{2}=\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}$=-3，
${a}_{5}=\frac{-3-1}{-3+1}$=2．
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
∴该数列的前2017项的乘积a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（a₁a₂a₃a₄）⁵⁰⁴•（a₁a₂a₃）=[$2×\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）×（-3）$]⁵⁰⁴×[2×$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）$]=-$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的前2017项积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．