Question

16．模长为1的复数x，y，z满足x+y+z≠0，则$|{\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}}|$的值是1．

Answer 1

分析 分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．利用复数的三角形式的运算法则、模的计算公式即可得出．

解答 解：分别设x=cosα+isinα，y=cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ．
则xy+yz+zx=cos（α+β）+isin（α+β）+cos（γ+β）+isin（γ+β）+cos（α+γ）+isin（α+γ）
∴|xy+yz+zx|=$\sqrt{[cos（α+β）+cos（β+γ）+cos（α+γ）]^{2}+[sin（α+β）+sin（β+γ）+sin（α+γ）]^{2}}$，其被开方数=3+2cos（α-β）+2cos（β-γ）+2cos（α-γ）．
同理可得|x+y+z|=$\sqrt{（cosα+cosβ+cosγ）^{2}+（sinα+sinβ+sinγ）^{2}}$，其被开方数=3+2cos（α-β）+2cos（β-γ）+2cos（α-γ）．
∴$|{\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}}|$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数的三角形式的运算法则、模的计算公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．