Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[

1

b

，

1

a

]，若存在，求出实数a，b的值； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知x＞0时，f（x）=2x-x²．求函数的解析式，关键是求当x＜0时的解析式，可求哪设哪；
（2）利用函数的解析式，进行分类讨论，借助于函数的单调性与最值可求．

解答：解：（1）由题意，根据奇函数性质：f（x）=-f（-x）
当x＜0时，-x＞0，所以当x＜0时的解析式为：f（x）=-f（-x）=2x+x²
∵f（0）=0
∴f(x)=

2x-x2，x＞0. 2x+x2，x≤0.

（2）由

b＞a 1 a ＞ 1 b

⇒ab＞0．
若a＞0，b＞0．
情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x²的最大值为1．得a=1（舍）．
情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，又

1

a

＞1（不符）
情形三 1≤a＜b：[a，b]上单调减得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

⇒

a=1 b= 1+ 5 2

（符合）
若a＜0，b＜0，同理可得a=

-1- 5

2

，b=-1

点评：本题以函数奇偶性为载体，考查函数的解析式，考查函数的性质，有一定的综合性．