【题目】已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2 , g(x)是f(x)的导函数,
(1)当a>0时,求证:存在唯一的x0∈(﹣ ,0),使得g(x0)=0;
(2)若存在实数a,b,使得f(x)≥b恒成立,求a﹣b的最小值.
【答案】
(1)证明:∵g(x)=f′(x)=ex+2ax,g′(x)=ex+2a,
当a>0时,g′(x)>0,∴函数g(x)在(﹣∞,+∞)上的单调递增,
又g(﹣ )=
﹣1<0,g(0)=1>0,
∴存在唯一的x0∈(﹣ ,0),使得g(x0)=0;
(2)解:①当a<0时,则当x<0时,g(x)>0,
即函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且当x→﹣∞时,f(x)→﹣∞,这与f(x)≥b矛盾;
②当a=0,由ex≥b,得b≤0,∴a﹣b≥0;
③当a>0,由(Ⅰ)知当x∈(﹣∞,x0)时,g(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0;
即f(x)在(﹣∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
∴f(x)的最小值为f(x0),
其中x0满足 +2ax0=0,故a=﹣
且x0<0,
∵f(x)≥b恒成立,∴b≤f(x0),
即﹣b≥﹣ ﹣ax02,于是a﹣b≥﹣
﹣ax02=﹣
(1+
﹣
),
记h(x)=﹣ex(1+ ﹣
),x<0,
则h′(x)= ex(x﹣1)2(x+1),
由h′(x)<0得x<﹣1,即函数h(x)在(﹣∞,﹣1)上单调时递减,
由h′(x)>0得﹣1<x<0,即函数h(x)在(﹣1,0)上单调递增,
∴h(x)min=h(﹣1)=﹣ ,
综上得a﹣b的最小值为﹣ ,此时x0=﹣1.
【解析】(1)求函数的导数,利用函数零点的判定定理进行判断即可.(2)利用不等式恒成立,转化为求函数的最值,求函数的导数,判断函数的单调性求函数的最值进行求解.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】如图,焦点在x轴的椭圆,离心率e= ,且过点A(﹣2,1),由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点(Q点与P点不重合).
(1)求椭圆标准方程;
(2)求证:直线PQ的斜率为定值;
(3)求△OPQ的面积的最大值.
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【题目】如图,椭圆的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
,若
,
与
轴垂直,且
.
(1)求椭圆方程;
(2)过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于
两点,已知点
,当
时,求满足
的直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】定义区间的长度
均为
,多个互无交集的区间的并集长度为各区间长度之和,例如
的长度
。用
表示不超过
的最大整数,例如
。记
。设
,
,若用
、
和
分别表示不等式
、方程
和不等式
解集区间的长度,则当
时,
____________.
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【题目】光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为,通过
块玻璃以后强度为
.
(Ⅰ)写出关于
的函数关系式;
(Ⅱ)通过多少块玻璃以后,光线强度减弱到原来的以下.(lg3≈0.4771).
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【题目】如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成,若AD=DC=2,AB=BC=2 ,∠DAB=∠BCD=90°,且AA1=CC1=
;
(1)求二面角D1﹣A1B﹣A的大小;
(2)求此多面体的体积.
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【题目】设O是坐标原点,椭圆C:x2+3y2=6的左右焦点分别为F1 , F2 , 且P,Q是椭圆C上不同的两点,
(1)若直线PQ过椭圆C的右焦点F2 , 且倾斜角为30°,求证:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列;
(2)若P,Q两点使得直线OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比数列.求直线PQ的斜率.
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