Question

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，共有的取法数（　　）

A．141

B．144

C．150

D．210

Answer 1

分析：由题意知从10个点中任取4个点有C₁₀⁴种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果，即得所求．

解答：解：从10个点中任取4个点有C₁₀⁴种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C₆⁴种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种，以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141种，
故选A．

点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．