Question

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成

1

2

（n²+n+2）块．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证题步骤证明，（1）验证n=1时命题的正确性；（2）通过假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也正确即可．

解答：证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又

1

2

（1²+1+2）=2，命题成立．
（2）假设n=k时，k≥1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成

1

2

（k²+k+2）块，
那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，
每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块．
所以k+1条直线把平面分成了

1

2

（k²+k+2）+k+1=

1

2

[（k+1）²+（k+1）+2]块，
这说明当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）知，对一切n∈N*，命题都成立．

点评：本题是基础题，考查数学归纳法的证明步骤，数学归纳法的应用，注意n=k和n=k+1时的证明方法，是本类题型的证明策略．