Question

已知直线2x+y-8=0和直线x-2y+1=0的交点为P，分别求满足下列条件的直线方程．
（Ⅰ）直线m过点P且到点A（-2，-1）和点B（2，1）距离相等；
（Ⅱ）直线n过点P且在两坐标轴上的截距之和为12．

Answer 1

分析：（I）联立方程2x+y-8=0，x-2y+1=0即可得到交点P的坐标，由直线m过点P且到点A（-2，-1）和点B（3，2）距离相等，可得：直线m平行于直线AB，或经过AB的中点．再利用相互平行的直线斜率之间的关系和中点坐标公式即可得出．
（2）设直线n的方程为y-4=k（x-2），分别令x=0，y=0即可得到在坐标轴上的截距，进而得到k．

解答：解：（Ⅰ）由

2x+y-8=0 x-2y+1=0

，
解得交点坐标为P（2，4），
∵直线m过点P且到点A（-2，-1）和点B（3，2）距离相等
∴直线m平行于直线AB，或经过AB的中点．
由已知得kAB=

1

2

，AB的中点C（0，0），且k_PC=2．
直线m的方程为y-4=

1

2

(x-2)或y=2x，
即x-2y+6=0或2x-y=0．
（Ⅱ）设直线n的方程为y-4=k（x-2），
令x=0，得y=4-2k，令y=0，得x=2-

4

k

，
由题意4-2k+2-

4

k

=12，整理的k²+3k+2=0，
解得k=-1或k=-2．
∴直线n的方程为y-4=-（x-2）或y-4=-2（x-2）．
即x+y-6=0或2x+y-8=0．

点评：本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系和中点坐标公式、截距式等基础知识及方法，属于基础题．