Question

18．计算：
（1）（2$\frac{1}{4}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（-9.6）⁰-（3$\frac{3}{8}$）^-${\;}^{\frac{2}{3}}$+（1.5）^-2+（$\sqrt{2}$×$\root{4}{3}$）⁴
（2）若x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，试求$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用分数指数幂的运算法则，求得所给式子的值．
（2）由条件利用完全平方公式求得 x+x^-1=7，x²+x^-2=47，根据立方和公式可得 ${x}^{\frac{3}{2}}$+${x}^{-\frac{3}{2}}$=47，从而求得要求的式子的值．

解答 解：（1）（2$\frac{1}{4}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（-9.6）⁰-（3$\frac{3}{8}$）^-${\;}^{\frac{2}{3}}$+（1.5）^-2+（$\sqrt{2}$×$\root{4}{3}$）⁴
=$\frac{3}{2}$-1-${（\frac{3}{2}）}^{-2}$+${（\frac{3}{2}）}^{-2}$+4•3=$\frac{25}{2}$．
（2）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴平方可得 x+$\frac{1}{x}$+2=9，即 x+x^-1=7，故 x²+x^-2+2=49，x²+x^-2=47．
又 根据立方和公式可得 ${x}^{\frac{3}{2}}$+${x}^{-\frac{3}{2}}$=（${x}^{\frac{1}{2}}$+${x}^{-\frac{1}{2}}$）（x+x^-1-1）=3×6=18，
故 $\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{18+2}{47+3}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查分数指数幂的运算法则的应用，完全平方公式、立方和公式的应用，属于基础题．