Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，

π

6

]时，求函数的最小值；
（3）求函数的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）首先整理函数的式子，进行三角函数式的恒等变换，先相乘，再用二倍角公式进行降幂，再利用辅角公式写出最简结果，用周期公式做出周期．
（2）先求出求出2x-

π

4

的范围，进而得到sin（2x-

π

4

）的范围，从而得到函数f（x）的 范围，从而求得函数f（x）的最小值．
（3）根据正弦曲线的递增区间，写出使得函数的角在这一个区间上，解出其中的x的值，求出函数的单调区间．

解答：解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

））
∴最小正周期为π
（2）∵x∈[0，

π

6

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

12

]
∴当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）min=-

2

2

．
（3）根据正弦曲线的递增区间知当2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
即x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]
∴函数的递增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈z）．

点评：本题考查三角函数的变换和三角函数的性质，这是一个非常适合作为高考题目的题，这种题目注意三角恒等变换时不要出错，不然后面的运算都会出错．