Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为2$\sqrt{3}$．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=$\frac{1}{2}$x+m与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=$\frac{1}{2}$x+m代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线与y轴交于（0，m），则S_△OAB=$\frac{1}{2}$|m|•|x₁-x₂|，化简整理，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（I）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$•2c•b=2$\sqrt{3}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=$\frac{1}{2}$x+m代入椭圆方程x²+4y²=8，
可得x²+2mx+2m²-4=0，判别式△=4m²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0，x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
由直线与y轴交于（0，m），
则S_△OAB=$\frac{1}{2}$|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$|m|•$\sqrt{4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-4）}$
=|m|•$\sqrt{4-{m}^{2}}$≤$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$=2，
当且仅当m=±$\sqrt{2}$时取得等号．
则OAB面积的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．