Question

已知点C（4，0）和直线l：x=1，过动点P作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0；
（1）求点P的轨迹方程，
（2）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，点B（1，0），若△BMN的面积为36

5

，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）由|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，知|

PC

|=2|

PQ

|，设P（x，y），代入得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，整理得点P的轨迹方程．
（2）由题知直线m的斜率不为0，且点C（4，0）为双曲线

x2

4

-

y2

12

=1 的右焦点，设m的方程为x=ty+4，由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

得（3t²-1）y²+24ty+36=0，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16．由此入手能够求出直线m的方程．

解答：解：（1）由题|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，∴|

PC

|=2|

PQ

|，
设P（x，y），
代入得

(x-4)2+y2

=2|x-1|，
整理得点P的轨迹方程为：

x2

4

-

y2

12

=1，（3分）
（2）由题知直线m的斜率不为0，
且点C（4，0）为双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的右焦点，
设m的方程为x=ty+4，由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

得（3t²-1）y²+24ty+36=0，（5分）
易知3t²-1≠0且

y1+y2= -24t 3t2-1 y1y2= 36 3t2-1

，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，（7分）
由x₁x₂＞0得

3t2+4

3t2-1

＜0?t2＜

1

3

，S△BMN=

1

2

|BC||y1-y2|=

3

2

×

(24t)2-4×36(3t2-1)

|3t2-1|

=

18 1+t2

|3t2-1|

=

18 1+t2

1-3t2

=36

5

，（10分）
解得t2=

1

4

或t2=

19

45

（舍），
∴t2=

1

4

?t=±

1

2

，
直线m的方程为：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．