Question

7．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是$∠ECF=\frac{π}{6}$，点E，F在直径AB上，且$∠ABC=\frac{π}{6}$．
（1）若$CE=\sqrt{13}$，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S_△CEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

解答 （本小题满分16分）
解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，$∠ABC=\frac{π}{6}$，
所以$∠BAC=\frac{π}{3}$，AC=4，
在△ACE中，由余弦定理：CE²=AC²+AE²-2AC•AEcosA，且$CE=\sqrt{13}$，
所以13=16+AE²-4AE，
解得AE=1或AE=3，…（4分）
（2）因为$∠ACB=\frac{π}{2}$，$∠ECF=\frac{π}{6}$，
所以∠ACE=α$∈[0，\frac{π}{3}]$，
所以$∠AFC=π-∠A-∠ACF=π-\frac{π}{3}-（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{π}{2}-α$，…（6分）
在△ACF中由正弦定理得：$\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA}=\frac{AC}{{sin（\frac{π}{2}-α）}}=\frac{AC}{cosα}$，
所以$CF=\frac{{2\sqrt{3}}}{cosα}$，…（8分）
在△ACE中，由正弦定理得：$\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC}=\frac{AC}{{sin（\frac{π}{3}+α）}}$，
所以$CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin（\frac{π}{3}+α）}}$，…（10分）
由于：${S_{△ECF}}=\frac{1}{2}CE•CFsin∠ECF=\frac{3}{{sin（\frac{π}{3}+α）cosα}}=\frac{12}{{2sin（2α+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}}$，…（14分）
因为$α∈[0，\frac{π}{3}]$，所以$\frac{π}{3}≤2α+\frac{π}{3}≤π$，所以$0≤sin（2α+\frac{π}{3}）≤1$，
所以当$sin（2α+\frac{π}{3}）=0$时，S_△ECF取最大值为$4\sqrt{3}$．…（16分）

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．