Question

1．抛物线C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）的焦点与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M，若C₁在点M处切线平行于C₂的一条渐近线，则p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

解答 解：由抛物线C₁：y=$\frac{1}{2p}$x²（p＞0）得x²=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，$\frac{p}{2}$）．
由$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为$\frac{y-0}{\frac{p}{2}-0}$=$\frac{x-2}{0-2}$，
即$\frac{p}{2}$x+2y-p=0①．
设该直线交抛物线于M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），则C₁在点M处的切线的斜率为$\frac{{x}_{0}}{p}$．
由题意可知$\frac{{x}_{0}}{p}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得x₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，代入M点得M（$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{p}{6}$）
把M点代入①得：$\frac{\sqrt{3}}{3}{p}^{2}+\frac{2}{3}p-2p=0$．
解得p=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．