Question

已知函数f(x)=ax-x²的最大值不大于，又当x∈［］时，f(x)≥

(1)求a的值；

（2）设0＜a₁＜,a_n+1=f(a_n),n∈N^*,证明a_n＜.

Answer 1

(1)解析：由于f(x)=ax-x²的最大值不大于,

所以f()=≤,即a²≤1.①又x∈［］时，f(x)≥,

所以

解得a≥1.②

由①②得a=1.

(2)证明：①当n=1时，0＜a₁＜,不等式0＜a_n＜成立；因f(x)＞0,x∈(0,),所以0＜a₂=f(a₁)≤＜,故n=2时不等式也成立.②假设n=k(k≥2)时不等式0＜a_k＜成立，因为f(x)=x-x²的对称轴为x=,知f(x)在［0,］上为增函数，所以由0＜a_k＜≤得0＜f(a_k)＜f().于是有0＜a_k+1＜-·.所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据①②,可知对任何n∈N^*，不等式a_n＜恒成立.