Question

（2013•东莞一模）设等差数列{a_n}，{b_n}前n项和S_n，T_n满足

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

，且

a3

b4+b6

+

a7

b2+b8

=

2

5

，S₂=6；函数g(x)=

1

2

(x-1)，且c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1），c₁=1．
（1）求A；
（2）求数列{a_n}及{c_n}的通项公式；
（3）若dn=

an(n为奇数) cn(n为偶数)

，试求d1+d2+…+dn．

Answer 1

分析：（1）利用等差中项的概念，把

a3

b4+b6

+

a7

b2+b8

=

2

5

转化为

a5

b5

=

2

5

，结合

Sn

Tn

=

An+1

2n+7

得到

9A+1

2×9+7

=

2

5

，从而A的值可求；
（2）由A=1，可令S_n=kn（n+1），由S₂=6求出k，则S_n可求，分n=1和n≥2求得a_n．把给出的c_n=g（c_n-1）变形，得到数列{c_n+1}是

1

2

为公比，以c₁+1=2为首项的等比数列，由等比数列的通项公式求出c_n+1，从而得到c_n；
（3）分n=2k和n=2k+1两类写出d₁+d₂+…+d_n，然后利用分组求和．

解答：解：（1）∵{a_n}，{b_n}是等差数列，
由

a3

b4+b6

+

a7

b2+b8

=

2

5

，得

a3

2b5

+

a7

2b5

=

2a5

2b5

=

a5

b5

=

2

5

，
而

S9

T9

=

a 1+a9 2 ×9

b1+b9 2 ×9

=

a5

b5

=

2

5

，
∴

9A+1

2×9+7

=

2

5

，解得A=1；
（2）令S_n=kn（n+1），∵S₂=6，得6k=6，k=1，即Sn=n2+n．
当n=1时，a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
该式对n=1时成立，所以a_n=2n；
由题意cn=

1

2

(cn-1-1)，变形得cn+1=

1

2

(cn-1+1)（n≥2），
∴数列{c_n+1}是

1

2

为公比，以c₁+1=2为首项的等比数列．
cn+1=2•(

1

2

)n-1，即cn=(

1

2

)n-2-1；
（3）当n=2k+1时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k+1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（

1

22

-1）+…+（

1

22k-2

-1）]
=2(k+1)2+

4

3

[1-(

1

4

)k]-k=2k2+3k+2+

4

3

[1-(

1

4

)k]
=

n2+n+2

2

+

4

3

[1-(

1

2

)n-1]．
当n=2k时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（

1

22

-1）+…+（

1

22k-2

-1）]
=2k2-k+

4

3

[1-(

1

4

)k]=

n2-n

2

+

4

3

[1-(

1

2

)n]．
综上：d1+d2+…dn=

n2+n+2 2 + 4 3 [1-( 1 2 )n-1](n为正奇数) n2-n 2 + 4 3 [1-( 1 2 )n](n为正偶数)

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和等差中项概念，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了数列的分组求和及等差数列和等比数列的前n项和公式，是中档题．