【题目】设数列的前项和,已知,.
(1)求证:数列为等差数列,并求出其通项公式;
(2)设,又对一切恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知为正整数且,数列共有项,设,又,求的所有可能取值.
【答案】(1)证明见解析;;(2);(3);
【解析】
(1)当时,由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列,进一步可得数列的通项公式;
(2)结合(1)中的通项公式裂项求和,然后结合题意可确定实数的取值范围;
(3)首先确定数列为等差数列,然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和,得到关于k的不等式,最后求解关于k的不等式即可确定实数的所有可能取值.
(1)当时,,,
两式作差得,
故,
所以数列是公差为6的等差数列,
又,
所以;
(2)由于,故.
,
显然单调递增,且,
故, 所以.
(3),则是公差为的等差数列,
故当时,;
当时,,
设数列的前n项和为,于是:
,
注意到,则,题中的不等式即,
所以,
所以,的所有可取值为.
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【题目】在测量一根新弹簧的劲度系数时,测得了如下的结果:
所挂重量()(x) | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 |
弹簧长度()(y) | 11 | 12 | 12 | 13 | 14 | 16 |
(1)请在下图坐标系中画出上表所给数据的散点图;
(2)若弹簧长度与所挂物体重量之间的关系具有线性相关性,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)根据回归方程,求挂重量为的物体时弹簧的长度.所求得的长度是弹簧的实际长度吗?为什么?
注:本题中的计算结果保留小数点后两位.
(参考公式:,)
(参考数据:,)
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【题目】已知圆:与直线:,动直线过定点.
(1)若直线与圆相切,求直线的方程;
(2)若直线与圆相交于、两点,点M是PQ的中点,直线与直线相交于点N.探索是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积=,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为,半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是( )
A. “弦”米,“矢”米
B. 按照经验公式计算所得弧田面积()平方米
C. 按照弓形的面积计算实际面积为()平方米
D. 按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米(参考数据 )
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【题目】定义在上的函数满足:①对一切恒有;②对一切恒有;③当时,,且;④若对一切(其中),不等式恒成立.
(1)求的值;
(2)证明:函数是上的递增函数;
(3)求实数的取值范围.
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【题目】已知四棱锥中,底面为矩形,且,,若平面,,分别是线段,的中点.
(1)证明:;
(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置:若不存在,说明理由;
(3)若与平面所成的角为45°,求二面角的余弦值.
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【题目】一个孩子的身高与年龄(周岁)具有相关关系,根据所采集的数据得到线性回归方程,则下列说法错误的是( )
A.回归直线一定经过样本点中心
B.斜率的估计值等于6.217,说明年龄每增加一个单位,身高就约增加6.217个单位
C.年龄为10时,求得身高是,所以这名孩子的身高一定是
D.身高与年龄成正相关关系
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________.
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