Question

（2006•海淀区一模）已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式，根据函数y=f（x）的导函数是奇函数，求出a值后，
结合指数函数的性质，即可得到y=f′（x）的值域；
（2）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式（含参数a），分a≥1，0＜a＜1两种情况进行分类讨论，
即可得到函数y=f（x）的单调区间．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

ex

ex+1

-a．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），即

e-x

e-x+1

-a=-

ex

ex+1

+a
解得a=

1

2

．
故f′(x)=

ex

ex+1

-

1

2

=

1

2

-

1

ex+1

，
（2）由（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a=1-

1

ex+1

-a．
①当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，
即ex＞-1+

1

1-a

，解得x＞ln

a

1-a

，
∴当0＜a＜1时，综上可知，当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，函数y=f（x）在(ln

a

1-a

，+∞)内单调递增，
在(-∞，ln

a

1-a

)内单调递减．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的值域，其中（1）的关键是根据函数的奇偶性的性质，求出参数a的值，（2）的关键是对参数a进行分类讨论．