已知以A点为圆心的圆与直线${l 1}:\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．过点B的动直线l与圆A相交于M.N两点.Q是MN的中点.直线l与l1相交于点P．(1)求圆A的方程,(2)当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时.求直线l的方程,(3)求证:$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

已知以A（-1，2）点为圆心的圆与直线${l_1}：\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}=0$相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时，求直线l的方程；
（3）求证：$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

分析（1）设出圆A的半径，根据以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；
（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（-2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；
（3）由直线l过点B（-2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，运用向量的坐标和数量积的坐标表示，综合讨论结果，即可得到结论．

解答解：（1）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，
∴R=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴圆A的方程为（x+1）²+（y-2）²=20；
（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
连接AQ，则AQ⊥MN
∵$|{MN}|=2\sqrt{19}$，∴|AQ|=$\sqrt{20-19}$=1，
则由|AQ|=$\frac{|k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，得k=$\frac{3}{4}$，∴直线l：3x-4y+6=0．
故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0；
（3）证明：∵AQ⊥BP，∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$，
①当l与x轴垂直时，易得P（-2，-$\frac{5}{2}$），则$\overrightarrow{BP}$=（0，-$\frac{5}{2}$），又$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=0×1-$\frac{5}{2}$×2=-5；
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{x+2y+7=0}\end{array}\right.$，得P（$\frac{-4k-7}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
则$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{-5}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
∴$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=$\frac{-5}{1+2k}$+$\frac{-10k}{1+2k}$=-5．
综上所述，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-5$．

点评本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离），（3）中要注意讨论斜率不存在的情况，这也是解答直线过定点类问题的易忽略点．

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甲

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D．

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