Question

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）求证| AB | =；

（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。

解析:

解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…4分

         （Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为

                   y = k ( x – 3 )               有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

                   设点A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )              有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

                   |AB| = ** … 6分

                   又因为   k = tan=              代入**式得

                   |AB| = ………… 8分

                   当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =……………… 10分

                   而当=时，|AB| ==

综上所述：所以|AB| =……………… 11分

（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，

                   同理可得         |CD| == ……………………… 12分

                   有|AB| + |CD| =+=

因为sin2∈[0，1]，所以   当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是  …… 16分