Question

设m，n为非零实数，i为虚数单位，z∈C，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形（F₁，F₂为焦点）是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设F₁（0，-n），F₂（0，m），由题意得F₁（0，-n）在y轴负半轴，根据复数的几何意义得|z+ni|=|PF₁|且|z-mi|=|PF₂|，
所以第一个方程表示到F₁、F₂距离之和等于常数的点的轨迹；第二个方程表示到F₁、F₂距离之差等于常数的点的轨迹．由此结合椭圆曲线的第一定义，可得本题的答案．
解答：解：设F₁（0，-n），F₂（0，m）
∵方程|z+ni|+|z-mi|=n＞0，
∴F₁（0，-n）在y轴负半轴，
设z对应复平面内点P（x，y），则|z+ni|=|PF₁|，|z-mi|=|PF₂|，
方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PF₁|+|PF₂|=n（定值），表示以F₁、F₂为焦点的椭圆；
方程|z+ni|-|z-mi|=-m即|PF₁|-|PF₂|=-m（定值），
当m＞0时，表示以F₁、F₂为焦点的双曲线靠近F₁的一支，当m＜0时，表示以F₁、F₂为焦点的双曲线靠近F₂的一支
因此，对照各个选项可知只有C符合题．
故选：C
点评：本题给出复数方程，要我们找出适合方程的图形，着重考查了复数的几何意义和圆锥曲线的定义等知识，属于基础题．