Question

在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；　②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△；　③cosC+sinC的最小值为-

2

；　④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=

3π

4

，其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①根据三角形中大边对大角以及正弦定理即可得到f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；②利用正弦定理和三角恒等变形对a²-b²=（acosB+bcosA）²，进行化简得到A=

π

2

，故△ABC是Rt△；③利用三角恒等变形对cosC+sinC化简得

2

sin(c+

π

4

)，根据角范围分析即可得到答案；④利用余弦函数的单调性即可证明结论；⑤利用两角和的正切公式的变形tanB+tanA=tan（A+B）（1-tanAtanB），进行化简即可求得结果．

解答：解：①∵a＞b，根据正弦定理得sinA＞sinB，
∴f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数，故正确；
②∵a²-b²=（acosB+bcosA）²
∴a²-b²=（acosB+bcosA）²=a²cos²B+2abcosBcosA+b²cos²A，
整理得a²sin²B=2abcosBcosA+b²（1+cos²A），
即sin²Asin²B=2sinAsinBcosBcosA+sin²B（1+cos²A），
sinA（sinAsinB-cosBcosA）=sinB+cosA（sinAcosB+sinBcosA）
sinAcosC=sinB+cosAsinC，∴sin（A-C）=sin（A+C），
∴A-C+A+C=π，即A=

π

2

，故△ABC是Rt△；正确；
③cosC+sinC=

2

sin(c+

π

4

)，
∵0＜C＜π，∴

π

4

＜C+

π

4

＜

5π

4

∴cosC+sinC∈(- 1，

2

 ]，故cosC+sinC的最小值为-

2

；错；
④∵cosA=cosB，且0＜A、B＜π，y=cosx在[0，π]上单调递减，
∴A=B；故正确；
⑤∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2，即tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1
∴tan（A+B）=1，∴A+B=kπ+

π

4

，故错；
故①②④正确．
故答案为：①②④

点评：此题考查正弦定理的应用以及三角恒等变形等基础知识，综合性强，利用三角函数的单调性求最值时，注意利用三角恒等变形对要求函数化简为y=Asin（?x+φ），根据角范围分析求得函数的最值，是常考知识点，也是易错点，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．